«Методы оптимальных решений часть 2» Контрольная работа 2

МОСКОВСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. С.Ю. ВИТТЕ












Дисциплина «Методы оптимальных решений часть 2»
Контрольная работа 2

























Москва
2014

Вариант 1
Ситуация 1
Определить верхнюю и нижнюю цену игры и, если возможно, то и седловую точку
1 3 7 9
-2 0 10 -3
8 -10 7 4
3 5 8 10
Решение.
Найдем минимумы по строкам и максимумы по столбцам. Среди минимумов найдем максимум max(1;-3;-10;3)=3. Минимаксная стратегия А4. Среди максимумов найдем минимум min(8;5;10;10)=5. Максиминная стратегия В2.
В1 В2 В3 В4 αi
А1 1 3 7 9 1
А2 -2 0 10 -3 -3
А3 8 -10 7 4 -10
А4 3 5 8 10 3
βj 8 5 10 10

Таким образом, верхняя цена игры 5, нижняя – 3, следовательно, игра не имеет седловой точки.

Ситуация 2
Найти оптимальные решения игроков в смешанных стратегиях:
В1 В2
А1 6 9
А2 7 4
Решение.
Стратегии игрока А:
А1 – игрок А прячется в убежище I;
А2 – игрок А прячется в убежище II.
Стратегии игрока В:
В1 – игрок В ищет в убежище I;
В2 – игрок В ищет в убежище II.
Если игрок А в убежище I и В его обнаружил (стратегия A1B1), то платит штраф (а11=6). Аналогично для стратегии A2B2 а22=4.
Если А в убежище I, а В его не обнаружил (стратегия A1B2), то игрок А
получает (а12=9). Аналогично для стратегии A2B1 а21=7.
Размерность игры 2×2.
Платежная матрица игры, матрица размером 2×2:
6 9
7 4

Седловой точки нет: α = 6; β = 7.
Игра не имеет решения в чистых стратегиях.
Найдем решение в смешанных стратегиях.
Для игрока А цена игры ν является средним выигрышем, в то время как
для игрока В цена игры ν является средним проигрышем.
Припишем строкам платёжной матрицы неизвестные вероятности p1 и p2 (вероятности выбора стратегий A1 и A2) соответственно: . Умножим этот столбец поэлементно на 1-й столбец платежной матрицы, и, сложив произведения, получим математическое ожидание (среднее значение) выигрыша первого игрока A, при условии, что второй игрок B следует первой стратегии. Получим первое уравнение системы. Теперь умножим этот столбец поэлементно на 2-й столбец платежной матрицы, и, сложив произведения, получим математическое ожидание (среднее значение) выигрыша первого игрока A, при условии, что второй игрок B следует второй стратегии.
Тогда система уравнений для поиска смешанных стратегий игрока А примет вид:

Для получения системы уравнений игрока В припишем столбцам платёжной матрицы неизвестные вероятности q1 и q2 (вероятности выбора стратегий B1 и В2) соответственно: . Умножим эту строку поэлементно на 1-ю строку платежной матрицы, и, сложив произведения, получим математическое ожидание (среднее значение) проигрыша второго игрока В, при условии, что первый игрок А следует первой стратегии. Получим первое уравнение системы. Теперь умножим эту строку поэлементно на 2-ю строку платежной матрицы, и, сложив произведения, получим математическое ожидание (среднее значение) проигрыша второго игрока В, при условии, что первый игрок А следует второй стратегии

Решая эти системы, получаем . Тогда .
Это означает, что оптимальная стратегия первого игрока состоит в том, чтобы чередовать свои чистые стратегии случайным образом, выбирая каждое из убежищ с вероятностью 1/2, при этом средней выигрыш равен 6,5.

Ситуация 3
Телефонная компания должна выбрать стратегию по предоставлению своих услуг таким образом, чтобы удовлетворить спрос своих клиентов на планируемый период. Для каждого уровня спроса существует наилучший уровень возможностей кампании. В таблице приведены возможные затраты на развитие телефонных услуг.
Какую стратегию выбрать телефонной кампании?
Варианты предоставления услуг Варианты спроса на телефонные услуги
S1 S2 S3 S4
R1 7 10 18 22
R2 9 6 8 25
R3 25 18 16 21
R4 24 22 20 26

Решение.
Найдем максимумы αi по строкам.
S1 S2 S3 S4 αi
R1 7 10 18 22 22
R2 9 6 8 25 25
R3 25 18 16 21 25
R4 24 22 20 26 26

1) Среди расходов найдем минимум W = min (22;25;25;26) = 22. Максиминная стратегия R1. Таким образом, по критерию Вальда нужно выбирать 1-ю стратегию.
2) Сделаем выбор по критерию Сэвиджа. Построим матрицу рисков:

В соответсвии с критерием минимизации максимальных рисков Сэвиджа получим . Таким образом, этот критерий дает вывод о выборе 2-й стратегии.
3) Сделаем оценку по критерию Гурвица. Предположим, .
Тогда
.
Откуда следует, что нужно выбрать стратегию R1.
4) Если принять известным распределение вероятностей для различных состояний спроса на телефонные услуги, например, считать эти состояния равновероятностными по критерию Лапласа:
,
то для принятия решения следует найти математические ожидания выигрыша:
;
;
;
.
Так как минимальное значение имеет М2, то следует выбирать стратегию R2.
Построим итоговую таблицу
Варианты предоставления услуг Критерии
Вальда Сэвиджа Гурвица Лапласа
R1 + +
R2 + +
R3
R4

Ответ: Кампании нужно выбрать стратегию R1 или R2.